Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Matematični ponedeljek: Povezave, 8. del: V iskanju naravnosti

Za Muzej matematike

Matematični ponedeljek nadaljuje svojo več tedensko avanturo v čudovit svet povezav. Oglejte si predstavitev serije Povezave za komplet povezav MoMath, uvod in splošna navodila.

V drugem stolpcu v tej seriji smo bili priča neverjetni kompleksnosti, ki jo lahko ustvari preprosta povezava s štirimi črtami: na splošno bo narisala pot, ki jo opisuje polinom v šestih stopnjah v x in y. Kaj pa enostavnejše funkcije, morda veliko enostavnejše? Ali lahko povezava nariše linearno pot v x in y? Zdi se, da je razumno, glede na ogromno prilagodljivost. In to vprašanje, daleč od tega, da bi bilo samo akademsko, je bilo izjemno praktičnega pomena - nič drugega kot James Watt. Lahko se spomnite, da se je ukvarjal z gradnjo parnih strojev. Ključna sestavina vsakega parnega stroja je bat. Da bi pridobili energijo raztezanja pare, mora biti glava bata tesno zaprta, da se pare premakne, da bi premaknila glavo, namesto da bi samo pobegnila. In da bi ohranili to glavo kot bliže kot je mogoče, kako naj se ta bat premakne? Natančno v ravni črti vzdolž osi bata. Po drugi strani pa si je želel, da se to gibanje vzvratno in naprej in z njo obrne os. Tako je bila osnovna praktična potreba, da se linearno gibanje spremeni v rotacijsko gibanje. Tukaj je ideja, s katero je Watt prišel, ki jo je opisal kot "enega najbolj iznajdljivih preprostih kosov mehanike, ki sem ga izumil." - in morda zasluženo tako, saj je bilo pred Wattom pretvorbo iz linearnega v rotacijsko gibanje mogoče le narediti. z verigo. Ker se lahko veriga samo potegne, ne potiska, je ta omejitev pomenila, da je ena smer vsakega udarca izgubila svojo moč.

Sestava Wattove povezave: 34-palčna brez drugih lukenj (A), dve 24-palčni (B in D) in en 34-palčni z luknjo pri 17; štiri povezovalce in pero.

Navodila: Povezava od A do B s C0; C34 povežite z D in prečkate C čez D, ko D povežete z A. Dodajte pero v C17.

Če želite uporabiti: Sidro A in zavrtite B in / ali D, da s peresom narišete krivuljo osmice. Poskrbite, da boste vsak sklep združili tako, da boste vodili A in C proti prehodu drug drugega, vsakič, ko boste dosegli mrtvo točko.

Tukaj je povezava zgrajena in delno skozi risanje:

In tukaj je zaključena krivulja:

Pravzaprav je ta ljubek krivuljo matematik Jacob Bernoulli že odkril skoraj sto let prej, ki ga je poimenoval »lemniskat«. Videl ga je kot nekakšno variacijo na elipsi, v kateri produkt razdalj točke iz dveh fiksnih točk ostaja konstanten, namesto njihove vsote. Zaradi te lastnosti izdelka je ta pot za povezavo s štirimi črtami opisana s polinomom četrte stopnje, ki je veliko enostavnejši od običajnega šeste stopnje. Zanimivo je, da je študija Bernulijevega lemniskata kasneje s strani Eulerja privedla do razvoja, pomembnega za pomembna področja sodobne matematike.

Toda kaj ima ta elegantna krivulja z Wattovim problemom? Ključ leži v eni potezi krivulje tik ob središču, kjer prečka fiksno črto. Lemniskat je skoraj skoraj naravnost skozi ta odsek. Watt je prilagodil razmerje med dolžino in širino te povezave, da bi povečal dolžino tega odseka, tako da bi celotno gibanje bata nazaj in nazaj potekalo v skoraj ravnem območju in ga spreminjalo, da bi to območje izvleklo iz poti fiksne palice in je tako lahko ustvaril prvi parni stroj, ki je dal moč na obeh vzvodih in njenem padcu.

Vendar pa tudi zaradi lastnosti izdelka ni nobenega odseka lemniscate natančno ravno, samo zelo blizu. Ali obstaja povezava s štirimi drogovi, ki proizvaja natančno gibanje? Ali kakšno povezavo? To se je spremenilo v pomembno matematično skrivnost, ki je trajala več let in jo bomo preučili v prihodnjih obrokih. Medtem poskusite z roko: lahko naredite povezavo iz kompleta MoMath Linkage Kit, ki črpa povsem ravno črto? (Samo če se želite znebiti veselja do raziskovanja, preiščite splet in ugotovite, ali je to mogoče…)

Več:

  • Povezave, Uvod
  • Povezave, 2. del: Štiri palice, ena svoboda
  • Povezave, 3. del: Štiri palice, dve ali tri pozicije
  • Povezave, 4. del: Štiri palice, štirje položaji
  • Povezave, 5. del: Štiri vrstice, več položajev?
  • Povezave, 6. del: Biomimikrija
  • Povezave, 7. del: Svet "B.X."
  • Oglejte si vse naše stolpce za matematični ponedeljek

Delež

Pustite Komentar